Número: 079
Enunciado:
Considere o conjunto L = { a, b, c, d, e} e o conjunto de subgrupos de L, X = triviais ∪ {L} ∪ { {a, b}, {c, d}, {c, d, e}}. Considere também as seguintes afirmações:
I - X é uma n-árvore.
II - X é uma n-árvore completamente resolvida.
III - X é uma n-árvore, mas não é completamente resolvida, pois o número de subgrupos de X não corresponde ao número de subgrupos esperado para uma n-árvore completamente resolvida definida sobre L.
Escolha a opção correta.
- Apenas as afirmativas I e II estão corretas.
- Apenas a afirmativa I está correta.
- Apenas as afirmativas I e III estão corretas.
- Nenhuma das afirmativas está correta.
- NDA
Antes de analisar cada afirmação da questão, seguem duas informações importantes:
ResponderExcluir1) Um conjunto X de subgrupos de L é denominado n-árvore sobre L se e somente se as quatro condições abaixo forem verificadas em X:
1- conjunto vazio não pertence a X;
2- L pertence a X;
3- {l} pertence a X para todo l que pertence a L;
4- A intersecção entre A e B pertence ao conjunto
{A, B, vazio} para todos os subgrupos A, B que pertencem a X.
2) Outra informação importante é o Teorema que afirma que uma n-árvore X é completamente resolvida se e somente se para qualquer subgrupo S pertencente a X com cardinalidade maior que um existirem dois subgrupos A, B pertencentes a X tais que a união de A e B seja igual a S e a intersecção entre A e B seja vazia.
A afirmação (i) é correta já que X é uma n-árvore porque satisfaz as condições. Observe abaixo que as condições são verificadas:
A condição 1 é verificada porque o conjunto vazio não faz parte da união dos conjuntos de X.
A condição 2 é verificada porque o próprio {L} faz parte da união dos conjuntos de X.
A condição 3 é verificada porque cada elemento trivial (elemento sozinho) faz parte da união dos conjuntos de X.
A condição 4 é verificada porque a intersecção entre {a,b} e {c,d} é vazia, a intersecção entre {a,b} e {c,d,e} é vazia, e a intersecção entre {c,d} e {c,d,e} é {cd}.
A afirmação (ii) é correta porque X é uma n-árvore completamente resolvida. Observe que a união é o próprio {L} e a intersecção é vazia. Além disso, se for montada a respectiva árvore, todos os nós internos terão grau 2. A afirmação está de acordo com o Teorema explicado no início da ata.
A afirmação (iii) é incorreta, pois já sabe-se que X é uma n-árvore completamente resolvida.
Como somente as afirmações (i) e (ii) estão corretas, a alternativa correta é a “1”.